1. Qué es
  2. Sucesos independientes
  3. Sucesos dependientes
  4. Infografía

Matemáticas

La probabilidad compuesta

probabilidad compuesta

La probabilidad conjunta es el segundo tipo de probabilidad. Es más compleja que la probabilidad simple, pero con este artículo entenderás absolutamente todo sobre ella.

¿Qué es la probabilidad compuesta?

La probabilidad compuesta o conjunta es el cálculo de la probabilidad (más información) cuando un experimento de probabilidad simple se repite varias veces o se relaciona un experimento con otro. Un ejemplo de este tipo de probabilidad es:

Imaginemos que tenemos una caja con 2 bolas azules, 3 bolas amarillas y 3 bolas rojas. Imaginemos que sacamos 1 bola y la volvemos a meter en la caja. Después, sacamos otra bola y la volvemos a meter ¿Qué probabilidad hay de que saquemos la misma bola dos veces?

ejemplo de cálculo de probabilidad

En el ejemplo mencionado, sacar una bola es un experimento simple, pero calcular la probabilidad de sacar la misma bola 2 veces, es un experimento de probabilidad conjunta. Dentro de los experimentos de probabilidad compuesta, podemos diferenciar dos tipos de sucesos: los independientes y los dependientes.

Sucesos independientes

Son aquellos en los que un suceso previo no afecta a lo que puede ocurrir en un siguiente suceso. Por ejemplo, en el anterior ejemplo se hace lo mismo 2 veces. Imaginad que sacamos la primera bola:

P(1ªbolaazul)=N°casosfavorables(2)N°casosposibles(8)=14=0.25=25%P(1ª\,bola\, azul) = \frac{N\degree\, casos\, favorables\, (2)}{N\degree\, casos\,posibles (8)} = \frac{1}{4} = 0.25 = 25\%

Y, ahora, la bola que acabamos de sacar, la volvemos a meter en la caja, por lo que la siguiente vez que saquemos una bola, seguirá habiendo 8 bolas en ella, todas las probabilidades serán las mismas y la probabilidad de sacar una bola azul seguirá siendo un 25%.

En este tipo de experimentos conjuntos, la probabilidad se calcula mediante la siguiente fórmula:

P(AyB)=P(A)×P(B)P(A\, y\, B) = P(A) \times P(B)

P significa probabilidad, y, en nuestro problema, A y B son:

A = Primera bola azul

B = Segunda bola azul

Apliquemos la fórmula al ejemplo que hemos propuesto:

P(1ªazuly2ªazul)=P(1ªazul)×P(2ªazul)P(1ª\, azul\, y\, 2ª\, azul)= P(1ª\, azul) \times P(2ª\, azul)

Y aplicando las probabilidades del experimento:

P(1ªazuly2ªazul)=28×28=116=0,0625=6,25%P(1ª\, azul\, y\, 2ª\, azul)= \frac{2}{8} \times \frac{2}{8} = \frac{1}{16}= 0,0625 = 6,25\%

Por lo que la probabilidad de que saquemos azul dos veces seguidas es de un 6,25%, ¿A que es menos que lo que te esperabas?

Sucesos dependientes

Son aquellos en los que un suceso previo afecta a lo que puede ocurrir en un siguiente. Volviendo al ejemplo de la caja, si cambiamos un poco el experimento y cada vez que sacamos una bola no la volvemos a meter, estaríamos hablando de sucesos dependientes:

Cuando vamos a sacar la primera bola hay 8 bolas en la caja, pero, al sacar una, quedan 7 dentro.

Cuando vamos a sacar la segunda bola hay 7 bolas dentro de la caja, pero, al sacar otra, quedan 6 dentro.

Vamos a ver cómo influye el no volver a meter la bola a las probabilidades. Imaginemos que en la primera tirada sacamos una bola azul; la probabilidad sería:

P(1ªazul)=N°casosfavorables(2)N°casosposibles(8)=14=0.25=25%P(1ª\, azul) = \frac{N\degree\, casos\, favorables\, (2)}{N\degree\, casos\,posibles (8)}= \frac{1}{4}= 0.25 = 25\%

E imaginemos ahora que, esa bola azul la dejamos fuera y vamos a sacar otra bola; estas serían las probabilidades de que esa segunda bola fuera azul:

P(2ªazulhabiendosacado1ªazul)=N°casosfavorables(1)N°casosposibles(7)=17=0.14=14%P(2ª\, azul\,habiendo\, sacado\, 1ª\, azul) = \frac{N\degree\, casos\, favorables\, (1)}{N\degree\, casos\,posibles (7)}= \frac{1}{7}= 0.14 = 14\%

¡Fijaos en que la operación ha cambiado, porque en la caja hay, ahora, 7 bolas, y solo queda una bola azul!

Este tipo de experimentos suelen visualizarse muy bien mediante un tipo de diagrama llamado árbol de probabilidades. He aquí el árbol correspondiente a este problema:

calculo-probabilidad-compuesta

Y ahora vamos a calcular la probabilidad de sacar, primero, una bola azul y, luego, otra bola azul. En experimentos dependientes como este, la probabilidad se calcula con esta fórmula:

P(AyB)=P(A)×P(BA)P(A\, y\, B) = P(A) \times P(B | A)

Si os fijáis, la diferencia con la fórmula del anterior problema es el P (B | A). Antes teníamos la probabilidad B, que era la probabilidad de sacar una bola azul en la segunda extracción.

Ahora, en cambio, tenemos P (B | A), porque la probabilidad de sacar una bola azul en la segunda extracción depende de qué bola saquemos en la primera extracción. Apliquemos la fórmula al problema:

Probabilidad de que salga “Primera bola azul” y “Segunda bola azul”= Probabilidad Primera bola azul x Probabilidad segunda bola azul, condicionada por el haber sacado ya una bola azul.

Y aplicando las probabilidades del experimento:

P(1ªazuly2ªazulhabiendosacadoyaunaazul)=14×17=128=0,036=3,6%P (1ª\, azul\, y\, 2ª\, azul\, habiendo\, sacado\, ya\, una\, azul) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{28}= 0,036 = 3,6\%

Por lo que la probabilidad de sacar azul dos veces seguidas es de 3,6%, y, evidentemente, el no devolver la primera bola azul sacada de la caja hace que las probabilidades de sacar una bola azul en la segunda extracción sean menores.

Infografía

Vídeo

Referencias

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Koruro (2021). La probabilidad compuesta. https://koruro.com/probabilidad-conjunta. Recuperado el 15 de octubre de 2021.

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